1

Тема: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

Вопрос по ЦОС.
Имеет ли смысл наложение весового окна (Блекмэна, Хемминга или др. отличных от прямоугольного) во временной области для улучшения результата нахождения фазы и амплитуды сигнала по одному периоду (20мс)?

Вопрос возник в полемике двух лиц.

Один считает что применение весовых окон на коротких интервалах(1 период) бессмысленным и вредным по определению, второй считает это хорошим методом повышения точности алгоритма.

Кто прав?

2

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

Не втягиваясь в научную дискуссию выскажу свое мнение.

С практической точки зрения:
Особой острой необходимости усложнять алгоритм Фурье для РЗА смысла сейчас нет, так как даже снизить погрешность измерений микропроцессорных терминалов защит с 1-5%, до 0,5% мы упремся в погрешность измерительных ТТ и ТН. При этом усложнение алгоритма вычисления может привести (в следствии значительного объемов расчетов) к необходимости установки более высокопроизводительного процессора. Кто-то скажет - давайте поставим, они стоят копейки... Но посчитав обвес, усложнение платы, и т.д. и т.п. получим неоправданное усложнение..

И нужна задавать себе вопрос, а как улучшаться сами защиты? ТО, МТЗ никак. Как использовали Котс, Кзап так и будем. Улучшится ли чувствительность ДЗТ? Да, но не значительно 5-10% за счет снижения расчетной величины тока небаланса обусловленного погрешностью измерительного канала ..., есть более эффективные меры. Дистанционная защита? Зоны действия ступеней выбираются все равно так, как они выбираются.

Поэтому, если разработка позволяет, без ущерба для усложнения электронного обвеса усложнить алгоритм имеет смысл и повысить точность. Безусловно плюс, но плюс не приносящий кардинального улучшения в качество защиты как таковой.

С научной точки зрения - безусловная ценность.

РОССИЯ, Санкт-Петербург, www.i-mt.net

3

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

Спасибо за ответ.
Но вопрос стоит не об усложнении алгоритма, а о методе применения оконных функциях к сигналу в длительностью в 1 период как таковом. За счёт чего получается повышение точности фазы? Кто-нибудт видел что происходит с сигналом в 1 период после наложения окна?

Существуют критерии выбора окна, основаные на том положении, что применение окна ухудшает частотное разрешение. Каким образом происходит повышение точности вычисления фазы - вообще загадка...

4

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

Существуют критерии выбора окна, основаные на том положении, что применение окна ухудшает частотное разрешение. Каким образом происходит повышение точности вычисления фазы - вообще загадка...

Окна неплохо описаны по простому в книге Гутникова В.С. Фильтрация измерительных сигналов. Наберите это например в Яндексе. Получите ссылки, где можно скачать. Там со страницы 127 описаны разные окна.

Смыл в том, что наложение окна расширяет основной лепесток АЧХ анализа и существенно снижает боковые лепестки. При прямоугольном окне или как его еще называют окно Дирихле (а по простому - отсутствие окна) АЧХ анализа имеет вид Sin(PI*f*T)/(PI*f*T), где для одного периода T=20 мс первый 0 АЧХ отстоит от центральной частоты анализа на 50 Гц.
Если мы возьмем, например, окно Хемминга, то АЧХ анализа будет иметь вид Sin(PI*f*T)/(PI*f*T)*(1+0.46/0.54*(f*T)^2/(1-(f*T)^2)). При T=20 мс первый 0 будет отстоять от центральной частоты анализа уже на 100 Гц.
Зато уровень боковых у АЧХ без окна -13.3 дБ, а с Хеммингом -42.7 дБ. Но с Хеммингом в полосу анализа будет попадать вторая гармоника, и если она большая, то будет влиять на оценку амплитуды и фазы частоты 50 Гц.
Так что вопрос не совсем однозначный.

5

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

ХВА пишет:

Но с Хеммингом в полосу анализа будет попадать вторая гармоника, и если она большая, то будет влиять на оценку амплитуды и фазы частоты 50 Гц.
Так что вопрос не совсем однозначный.

1) стало быть с Хеммингом гармоники выше 2-й не попадают в полосу анализа? значит ли это, что мы не увидим в спектре 3ю и 5ю гармоники?
2) Как окно влияет на точность определения фазы?

Присоединяйтесь!!! Мы в социальных сетях и на Ютуб.

6 (2014-01-21 20:02:14 отредактировано retriever)

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

Каким образом происходит повышение точности вычисления фазы - вообще загадка...

В дополнение к вышесказанному.
Если взять чисто синусоиду, то обычный ДПФ на 50 Гц в окно на период выдаст идеальный результат. И здесь точность особо не повысишь.

В реальном сигнале у нас вылезут гармоники, обусловленные всякими помехами и апериодикой. Их необходимо подавить. Обычный ДПФ, в принципе, достаточно хорошо отфильтровывает часть нежелательных гармоник, но что-то остается все равно. А лучше бы, чтобы не оставалось вообще.
И ответ на вопрос - насколько хорошо будет работать  какое-то конкретное окно, - зависит  от частотного спектра исходного сигнала. Возможно, где-то оно очистит сигнал от всякой мерзости лучше, чем ДПФ, а где-то наоборот, результат будет сильно искажен помехами.
В принципе, набор частот, характерный для силовой сети, подчиняется определенным закономерностям, и, теоретически, можно подобрать "окно по индивидуальному заказу". Но это уже надо смотреть конкретно и рассчитывать.

P.S. Меня такой вопрос сейчас волнует: сколько у современной микропроцессорной техники обычно идет отсчетов на период? Я встречал цифры 12, 20, 24, в ОМП-шных регистраторах видел 36. И видел также утверждение, что в ОМП число отсчетов больше, чем у собственно защиты.

Так сколько их?

7

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

retriever пишет:

сколько у современной микропроцессорной техники обычно идет отсчетов на период?

В БМРЗ 48 отсчетов, есть вариант где используем 96.

РОССИЯ, Санкт-Петербург, www.i-mt.net

8

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

retriever пишет:

В дополнение к вышесказанному.
Если взять чисто синусоиду, то обычный ДПФ на 50 Гц в окно на период выдаст идеальный результат. И здесь точность особо не повысишь.

В реальном сигнале у нас вылезут гармоники, обусловленные всякими помехами и апериодикой. Их необходимо подавить. Обычный ДПФ, в принципе, достаточно хорошо отфильтровывает часть нежелательных гармоник, но что-то остается все равно. А лучше бы, чтобы не оставалось вообще.
И ответ на вопрос - насколько хорошо будет работать  какое-то конкретное окно, - зависит  от частотного спектра исходного сигнала. Возможно, где-то оно очистит сигнал от всякой мерзости лучше, чем ДПФ, а где-то наоборот, результат будет сильно искажен помехами.
В принципе, набор частот, характерный для силовой сети, подчиняется определенным закономерностям, и, теоретически, можно подобрать "окно по индивидуальному заказу". Но это уже надо смотреть конкретно и рассчитывать.

P.S. Меня такой вопрос сейчас волнует: сколько у современной микропроцессорной техники обычно идет отсчетов на период? Я встречал цифры 12, 20, 24, в ОМП-шных регистраторах видел 36. И видел также утверждение, что в ОМП число отсчетов больше, чем у собственно защиты.

Так сколько их?

Простите, а с чего вы взяли, что если пооизвести дискретное преобразование Фурье, то произойдет фильтрация? 1)Преобразование Фурье - это не фильтр, а лишь инструмент представления сигнала в частотной области.
2)весовое окно так же не является фильтром, а лишь призвано минимизировать следствие неполного числа периодов сигнала на анализируемом отрезке времени. Иными словами сумма всех составляющих в спектре остается неизменной. Кроме того, существуют критерии выбора окна, связанные с частотным разрешением сигнала. Это вызвано тем, что применение окна ухудшает частотное разрешение.
3) паразитный эффект вносят частотные составляющие, лежащие выше половины частоты дискретизации (теорема Котельникова), присутствующие в сигнале ввиду несовершенства аналоговых фильтров.

Кто нибудь видел что происходит с сигналом одного периода во временной области после наложения окна? Окно можно удачно применить для нахождения амплитуды спектральных составляющих при анализе минимум 5 периодов.

Интересно было бы услышать встречное мнение. Возможно кто-то проводил эксперименты? Как я понял непрямоугольные окна мало кто использует.

Если отвлечься от темы окон, то интересно, как вычисляется угол и обеспечивается точность +/- 1 градус.

9 (2014-01-22 10:02:15 отредактировано retriever)

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

Простите, а с чего вы взяли, что если пооизвести дискретное преобразование Фурье, то произойдет фильтрация?

Я говорил не про ДПФ вообще, а про ДПФ по частоте 50 Гц с окном на период.
Формула (1):
http://rzia.ru/extensions/hcs_image_uploader/uploads/60000/2500/62982/thumb/p18esakes18jbm8ii2pmpbt031.png http://rzia.ru/extensions/hcs_image_uploader/uploads/60000/2500/62982/thumb/p18esakes18jbm8ii2pmpbt031.png

Здесь N - число отсчетов на период.

dkubarev пишет:

1)Преобразование Фурье - это не фильтр, а лишь инструмент представления сигнала в частотной области.

Вы релейную защиту собираетесь делать, или представлять сигнал в частотной области?
Полный цикл ДПФ - это нужно для каждой частоты, фактически, численно брать интеграл.
Однако нам нужна, как правило, только составляющая 50 Гц. Вот для нее интеграл численно и берут, для одного периода гармоники 50 Гц. См. формулу в начале поста.

Разумеется, на самом деле идеальной точности вы не получите. Формуле выше по барабану остальные гармоники, кратные 50 Гц, но наличие чего-то еще в спектре (например, апериодики) результат исказит (будет, скажем, не 1 В и 0°, а 1,1 В и 0.5°). Поэтому, быть может, стоит задуматься о каком-то другом способе получения составляющей 50 Гц, которая адаптирована именно под силовую сеть, под ее характерный набор гармоник.

Может, стоит сделать алгоритм расчета амплитуды и фазы, который более подвержен погрешностям от какой-нибудь экзотической частоты 127,5 Гц (если ее в сети нет, то результат не изменится), но усилить его стойкость к апериодике (частоты в районе 0 Гц, которые как раз есть)? Тут как раз и можно поизвращаться со всякими окнами.

P.S. Можно взять самую первую формулу и переписать ее в таком виде:
Формула (2):
http://rzia.ru/extensions/hcs_image_uploader/uploads/60000/2500/62982/thumb/p18esaks4v1lsj231d4a1nc01c9d2.png http://rzia.ru/extensions/hcs_image_uploader/uploads/60000/2500/62982/thumb/p18esaks4v1lsj231d4a1nc01c9d2.png
Это будет, фактически, пара КИХ-фильтров: синусный и косинусный. Можно поэкспериментировать с каждым по отдельности, и увидеть, что каждый из них умеет давить часть "лишних" гармоник.
Если взять, к примеру, идеальную синусоиду, и сунуть ее в выражения (1) и (2), а затем найти амплитуду и фазу, то увидим любопытный результат: модуль сигнала по (1) и (2) будет одинаковым, а вот фаза во втором случае будет непрерывно вращаться. Однако если, к примеру, параллельно фильтровать напряжение и ток, то их вектора будут крутиться синхронно, и разность фаз будет всегда постоянной.
Отсюда получается, что для определения направления, расчета сопротивления в терминале формулы (1) и (2) могут использоваться на равных правах. При этом формула (2) чуть проще для реализации.

И у меня вопрос: применяется ли в современных терминалах расчет по группе выражений (2)? Нет ли каких-то тонкостей, которые я упустил?

10

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

1) стало быть с Хеммингом гармоники выше 2-й не попадают в полосу анализа? значит ли это, что мы не увидим в спектре 3ю и 5ю гармоники?

Да.

dkubarev пишет:

2) Как окно влияет на точность определения фазы?

На точность определения как и амплитуды так и фазы влияет шум и гармоники, которые попадают в полосу анализа.

dkubarev пишет:

Простите, а с чего вы взяли, что если пооизвести дискретное преобразование Фурье, то произойдет фильтрация? 1)Преобразование Фурье - это не фильтр, а лишь инструмент представления сигнала в частотной области.

На самом деле, математически можно вывести, что при преобразовании Фурье без окна для каждой частоты будем иметь фильтр с характеристикой типа Sin(x)/х. Так, что Фурье можно представить как набор фильтров на определенные частоты. И когда анализируем амплитуду и фазу определенной частоты, на выходе фильтра имеем все, что попало в полосу фильтра. Отсюда и неточность измерений. Если ставим окно, то меняем характеристики этих фильтров.

11

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

retriever пишет:

то увидим любопытный результат: модуль сигнала по (1) и (2) будет одинаковым, а вот фаза во втором случае будет непрерывно вращаться.

сталкивался с таким. мне пояснили, что данное вращение детерминированное и не зависит от входного сигнала - определяется отсчетом времени в котором находится окно. Необходимо просто компенсировать данное вращение, например с помощью частотного сдвига: блоком phase/frequency offset. Если я правильно понял о чем речь.

12 (2014-01-22 11:06:49 отредактировано dkubarev)

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

ХВА пишет:

Да.

Это заблуждение, но, возможно, мы говорим о разных вещах. Я имею ввиду НЕ оконный КИХ фильтр (http://www.dsplib.ru/content/filters/firwin/firwin.html), где весовое окно накладывается на коэффициенты фильтра. Я говорю про весовое окно применительно к самому сигналу, где весовое окно НИЧЕГО не фильтрует, а лишь уменьшает разрывы функции сигнала во временной области, тогда даже если задать сигнал из 40ка гармоник кратных 50Гц, мы увидим в спектре все гармоники вплоть до 40й!
(но не при одном периоде анализа, конечно)

ХВА пишет:

На самом деле, математически можно вывести, что при преобразовании Фурье без окна для каждой частоты будем иметь фильтр с характеристикой типа Sin(x)/х. Так, что Фурье можно представить как набор фильтров на определенные частоты. И когда анализируем амплитуду и фазу определенной частоты, на выходе фильтра имеем все, что попало в полосу фильтра. Отсюда и неточность измерений. Если ставим окно, то меняем характеристики этих фильтров.

менять характеристики какого либо фильтра окном (Хемминга, Блэкмена и др.) можно лишь применив окно к коэффициентам фильтра а не к самому сигналу!

retriever пишет:

Вы релейную защиту собираетесь делать, или представлять сигнал в частотной области?

Я собираюсь расставить точки над i ))

Что такое ДПФ? и результат ДПФ? - это ничто иное как представление сигнала в частотной области.
Если взять выборку N отсчётов на период (пусть будет 48) и посчитать БПФ (не ДПФ), то получим спектр (зависимость амплитуды составляющих от частоты). и вторая составляющая будет соответствовать первой гармонике. Точно такое же значение первой гармоники мы получаем когда делаем ДПФ, разница лишь в том, что ДПФ вычисляет одно единственое значение, а не спектр.
  БПФ (как и ДПФ) имеет свою методическую погрешность связаную с тем, что мы берём конечный отрезок сигнала, а Фурье преобразование предполагает бесконечность и периодичность сигнала. Это делает необходимой фильтрацию ДО взятия ДПФ.
Такми образом сам по себе ДПФ ничего не фильтрует!


Готов подтвердить сказанное простыми выкладками из MATLAB (было бы здорово получить для анализа реальную выборку 48 значений на периоде)
Интересно услышать встречное мнение.

13

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

БПФ (как и ДПФ) имеет свою методическую погрешность связаную с тем, что мы берём конечный отрезок сигнала, а Фурье преобразование предполагает бесконечность и периодичность сигнала. Это делает необходимой фильтрацию ДО взятия ДПФ.

1) БПФ - это и есть ДПФ (для всех частот), только по "ускоренному" алгоритму.
2) Насчет фильтрации:

N=48;
t=0:0.02/N:0.02-0.02/N;
w=2*pi*50;
X=5*sin(w*t)+1*sin(2*w*t); % Обратите внимание, это сигнал из двух гармоник, 50 и 100 Гц.
Xf=2i/N*sum(X.*exp(-1i*w*t)); %Фурье для 50 Гц.

Если вы это сунете в Матлаб, то ответом будет число 5. Это означает, что ДПФ для 50 Гц ОТФИЛЬТРОВАЛ гармонику 100 Гц.
А вот для  X=5*sin(w*t)+1*sin(1.5*w*t) ответом будет 5+0.7626i. Это значит, что гармонику 75 Гц ДПФ частично пропустил и она исказила результат. Но, как можно видеть, слабо. Наиболее сильные искажения в результат для ДПФ на 50 Гц вносят гармоники частотами около 50 Гц.
Скажем, возьмем  X=5*sin(w*t)+1*sin(0.99*w*t). Ответом будет число 6.0043-0.0299i. Если что, 0.99*50=49,5 Гц.
 
Для остальных частот спектра - то же самое. XBA совершенно правильно пишет.
Фильтрацию сигнала перед ДПФ 50 Гц делать совершенно необязательно. ДПФ 50 Гц в большинстве случаев очень неплохо справляется со своими обязанностями в релейной защите. На осциллограммах проверено).

E.A.BUCHINSKIY пишет:

данное вращение детерминированное и не зависит от входного сигнала - определяется отсчетом времени в котором находится окно. Необходимо просто компенсировать данное вращение, например с помощью частотного сдвига: блоком phase/frequency offset. Если я правильно понял о чем речь.

Ммм... я имел в виду не матлаб. Понятно, что можно компенсировать. ICQ/ab:) Я хотел сказать, что работа ДЗ, МТЗ с определением направления и т.п. не будет зависеть от этого вращения, т.к. ток и напряжение вращаются синхронно, разность фаз меж ними (т.е. допустим, фаза сопротивления) постоянна. И меня интересует: применяются ли вращающиеся вектора в реальных терминалах? (хотя бы потому, что это оптимальней по производительности)  Или там есть какие-то подводные камни на эту тему?..

14

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

dkubarev пишет:

менять характеристики какого либо фильтра окном (Хемминга, Блэкмена и др.) можно лишь применив окно к коэффициентам фильтра а не к самому сигналу!

Если на отсчеты входного сигнала наложить окно или как еще говорят, весовую функцию, а потом сделать БПФ, то результаты такой обработки можно представить как расширение основного лепестка фильтра по сравнению с Sin(x)/х (случай отсутствия окна), а боковые лепестки уменьшатся. Это математически все выводится. А ЦОС и есть математика.
Это применяют в различных областях техники. Например, в спектроанализаторах. Но чтобы компенсировать это расширение, используют выборки отсчетов большей длины. В данном случае, если использовать окно Хемминга длиной не 20 мс, а 40 мс, то ширина основного лепестка по нулям будет такой же, как и в случае его отсутствия при гораздо меньших уровнях боковых.

15

Re: непрямоугольные окна в преобразовании Фурье для вычисления фазы

retriever пишет:

1) БПФ - это и есть ДПФ (для всех частот), только по "ускоренному" алгоритму.
2) Насчет фильтрации:


Если вы это сунете в Матлаб, то ответом будет число 5. Это означает, что ДПФ для 50 Гц ОТФИЛЬТРОВАЛ гармонику 100 Гц.
А вот для  X=5*sin(w*t)+1*sin(1.5*w*t) ответом будет 5+0.7626i. Это значит, что гармонику 75 Гц ДПФ частично пропустил и она исказила результат. Но, как можно видеть, слабо. Наиболее сильные искажения в результат для ДПФ на 50 Гц вносят гармоники частотами около 50 Гц.
Скажем, возьмем  X=5*sin(w*t)+1*sin(0.99*w*t). Ответом будет число 6.0043-0.0299i. Если что, 0.99*50=49,5 Гц.
 
Для остальных частот спектра - то же самое. XBA совершенно правильно пишет.
Фильтрацию сигнала перед ДПФ 50 Гц делать совершенно необязательно. ДПФ 50 Гц в большинстве случаев очень неплохо справляется со своими обязанностями в релейной защите. На осциллограммах проверено).

В каждом терминале перед ДПФ используется фильтрация, хотябы минимальная (RC-фильтр перед АЦП).
С ДПФ понятно - это вопрос из разряда "что есть фильтрация?"
тут я согласен, тут как посмотреть. Но по сути теже яйца вид сбоку. Вопрос исчерпан.

ХВА пишет:

Да.

Это утверждение ставит знак равенства между фильтром и окном, а это не так. Я приложил файл простейших вычислений и графиков, показывающий что после налоения окна на сигнал гармоники никуда не деваются, но появляются большие уровни постоянной составляющей и второй гармоники в следствии ширины основного лепестка окна и недостатачного спектрального разрешения для удачного применения окна.

Post's attachments

Fs (1).docx 349.73 Кб, 49 скачиваний с 2014-01-22 

You don't have the permssions to download the attachments of this post.